定理(Chern). 设 $M$ 是一个 Finsler 流形, 其 Finsler 函数为 $F$, 假定 $e_i=p_i^j\frac{\partial}{\partial u^j}$, $1\leqslant i\leqslant m$ 是矢量丛 $p^* TM\rightarrow PTM$ 上的单位正交标架场, $\omega^i=q_j^i\mathrm{d}u^j$ 是矢量丛 $p^* T^* M\rightarrow PTM$ 上与之对偶的单位正交余标架场, 其中
\[
e_m=\frac{X^i}{F}\frac{\partial}{\partial u^i},\quad\omega^m=\frac{\partial F}{\partial X^i}\mathrm{d}u^i
\]
是特定的大范围截面, 这里 $u^i$, $X^i$ 是 $M$ 和 $TM$ 的局部坐标系, 则在该矢量丛上有唯一的一个联络
\[
D:\ \Gamma(p^* TM)\rightarrow\Gamma(T^*(PTM)\otimes p^* TM),
\]

记为

\[De_i=\omega_i^j e_j,\]

满足下列条件:

\[
\begin{cases}
\mathrm{d}\omega^i=\omega^j\wedge\omega_j^i\quad(\text{无挠性}),\\
\omega_m^m=0,\\
\omega_{\alpha}^m+\omega_m^{\alpha}=0,\\
\omega_{\alpha}^{\beta}+\omega_{\beta}^{\alpha}\equiv 0\pmod{\omega_{\gamma}^{m}}\quad(\text{几乎与度量相容性}).
\end{cases}
\]

该联络称为 Chern 联络. Chern 联络是 Christoffel-Levi-Civita 联络的自然推广.

参考自 [1] p. 268

[1] 陈省身、陈维桓著《微分几何讲义》